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封閉曲線積分 在 [微積] 線積分有思考過程- 看板Math - 批踢踢實業坊 的推薦與評價
題目如圖
因為範圍感覺能用極座標求解
所以我第一個想法是先用格林定理再搭配極座標
過程如下
Q=3xy,P=y^2
∫∫{(partial[Q]/partial[x])-(partial[P]/partial[y])dxdy
D
=∫Pdx+Qdy
封閉曲線C
=∫∫(3y-y)dxdy
D
=∫∫ydxdy
D
pi 2
=∫ ∫r*Sin[theta]*rdrd[theta]
0 1
=14/3
然後我再用土法煉鋼法
將本來的積分範圍D{在x-y平面像是半個甜甜圈}所構成的封閉曲線C，分成四段，
C1是(2,0)至(-2,0)的半圓，
C2是(-2,0)至(-1,0)的直線，
C3是(-1,0)至(1,0)的半圓，
C4是(1,0)至(2,0)的直線，
接著依序做積分，
∫∫y^2dx+3xydy; x=2Cos[theta],y=2Sin[theta]
C1
pi
=∫{2Sin[theta]}^2d{2Cos[theta]}+3{2Sin[theta]}*{2Cos[theta]}d{2Cos[theta]}
0
=16/3
∫∫y^2dx+3xydy; x is from -2 to -1,y=0
C2
=0
∫∫y^2dx+3xydy; x=Cos[theta],y=Sin[theta]
C3
0
=∫{Sin[theta]}^d{Cos[theta]}+3{Sin[theta]}*{Cos[theta]}d{Cos[theta]}
pi
=-2/3
∫∫y^2dx+3xydy; x is from 1 to 2,y=0
C4
=0
四個線積分加總後是16/3+0-2/3+0=14/3
跟我用格林定理算出來的答案一致，
想請教我的思路是否正確，又或是有疏漏的地方，
謝謝
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※ 編輯: lamarsh (223.136.74.109), 06/06/2017 04:03:53
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